МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ГИМНАЗИЯ №11

Двоичная арифметика. Компьютерные системы счисления.

Сложение в двоичной системе счисления.

0 + 0 = 0

1 + 0 = 1

0 + 1 = 1

1 + 1 = 10

Примеры:

Вычитание в двоичной системе счисления.

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1

0 – 1 = -1

1 – 1 = 0

Примеры:

Умножение в двоичной системе счисления.

0 ∙ 0 = 0

1 ∙ 0 = 0

0 ∙ 1 = 0

1 ∙ 1 = 1

Примеры:

Деление в двоичной системе счисления выполняется, как и в десятичной системе.

Пример:

Руки в стороны и вверх. Повторяем дружно. Засиделся ученик – Разминаться нужно.

(Руки к плечам, потом вверх, потом снова к плечам, потом в стороны и т.д.)

Мы сначала всем в ответ Головой покрутим: НЕТ!

(Вращение головой в стороны.)

Энергично, как всегда, Головой покажем: ДА!

(Подбородок прижать к груди, затем запрокинуть голову назад.)

Чтоб коленки не скрипели, Чтобы ножки не болели, Приседаем глубоко, Поднимаемся легко.

(Приседания.)

Раз, два, три, чеканим шаг.

(Ходьба на месте.)

Подаёт учитель знак. Это значит, что пора За компьютер сесть.

Ура!

Закрепление изученного

№ 1 Выполните сложение: №2 Выполните умножение:

• 100101+101= 1) 100001*10010=
• 101101+111= 2) 110001*1011=
• 11001,1+11,01= 3) 101*101=

№ 3 Выполните вычитание: №4 Выполните деление:

• 1000101-1010= 1) 10000:10=
• 1101101-110= 2) 101101:101=
• 110101-101= 3) 100011:11=

№ 5 Составьте таблицы сложения, умножения в троичной системе счисления. Выполните действия: 102 3 *222 3 ; 102 3 +222 3

«Компьютерные» системы счисления

Двоичная система используется в компьютерной технике, так как:

• двоичные числа представляются в компьютере с помощью простых технических элементов с двумя устойчивыми состояниями;
• представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво;
• двоичная арифметика наиболее проста;
• существует математический аппарат, обеспечивающий логические преобразования двоичных данных.

Двоичный код удобен для компьютера.

Человеку неудобно пользоваться длинными и однородными кодами. Специалисты заменяют двоичные коды на величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления.

Домашнее задание:

Выучить правила сложения, умножения и деления чисел в двоичной системе счисления.

Рефлексия

: -) - Если вы довольны результатами вашей работы, но урок вам не понравился

: - (- Если урок вам не понравился и вы не довольны результатами своей работы на уроке

: -)) - Если вы считаете, что хорошо поработали, справились с заданием и урок вам понравился

: - I - Если урок вам понравился, но вы не успели справиться со всеми заданиями

Вычислить алгебраическую сумму -5 - 1.

	Признак переполнения разрядной сетки:
	При алгебраическом суммировании двух чисел,
	помещающихся в разрядную сетку, может возникнуть
	переполнение , то есть образуется сумма, требующая для
	своего представления на один двоичный разряд больше,
	чем разрядная сетка слагаемых. Предполагается, что
	положительные числа представляются в прямом коде, а
	отрицательные в дополнительном.
	Признаком переполнения является наличие переноса в
	знаковый разряд суммы при отсутствии переноса из
	знакового разряда (положительное переполнение) или
	наличие переноса из знакового разряда суммы при
	отсутствии переноса в знаковый разряд (отрицательное
	переполнение).
	При положительном переполнении результат операции
	положительный, а при отрицательном переполнении -
	отрицательный.
	Если и в знаковый, и из знакового разряда суммы
	Физика компьютеров 2011
	есть переносы или эт х переносов нет, то
	Л.А.Золоторевич
	переполнение отсутствует.

Эти коды отличаются от прямого, обратного и дополнительного кодов тем, что на изображение знака отводится два разряда: если число положительное - 00, если число отрицательное - 11. Такие коды оказались удобны (с точки зрения построения АЛУ) для выявления переполнения разрядной сетки. Если знаковые разряды результата принимают значение 00 и 11, то переполнения разрядной сетки не было, а если 01 или 10 - то было

переполнение.

Примечание:

Следует иметь ввиду, что рассмотрены только основные принципы выполнения арифметических операций, из которых видно, что все арифметические операции с двоичными числами могут быть сведены к двум операциям - операции суммирования двоичных чисел в прямом или

дополнительном кодах, а также операциям сдвига

двоичного числа вправо или влево. Реальные алгоритмы

выполнения операцийФизика умножениякомпьютеров и деления2011 в современных

ЭВМ достаточно громоздкиЛ.А и.Золоторевич здесь не рассматриваются.

При работе с арифметикой повышенной точности требуется больший объем памяти для хранения того же объема данных

и более интенсивная работа процессора. Увеличение объема требуемой памяти достаточно очевидно.

Рассмотрим очень коротко последовательность операций при сложении чисел с тройной точностью. Здесь уже недостаточно извлечь два слова из памяти, сформировать сумму в аккумуляторе

и переслать результат в память.

Сначала необходимо произвести обращение к младшему значащему слову каждого числа.

После сложения результат записывается в память, а возможные при этом переносы подлежат временному хранению.

Затем извлекаются средние по значимости слова, их складывают и к сумме добавляют биты переноса, полученные в результате предыдущей операции. Результат записывается в память на место, специально зарезервированное для среднего слова суммы.

Со старшим словом поступают аналогично.

Таким образом, при использовании арифметики тройной точности требуется в три раза больше объем памяти и время на операции сложения по сравнению с арифметикой

одинарной точности.Физика Кроме компьютеровтого,случае2011 возникновения прерываний, необходимо Л временно.А.Золот ревич хранить содержимое

Методы ускорения умножения.

Рассмотренный подход к умножению показывает, что умножение - это достаточно длинная операция, состоящая из N суммирований и сдвигов, а также выделений очередных цифр множителя. Из этого следует актуальность задачи максимального сокращения времени, затрачиваемого на операцию умножения, особенно для систем, работающих в реальном масштабе времени.

В современных ЭВМ методы ускорения умножения можно разделить на:

1) аппаратные;

2) логические (алгоритмические);

3) комбинированные.

Аппаратные методы.

1. Распараллеливание вычислительных операций. Например, совмещение во времени суммирования и сдвига.

2. Табличное умножение.

Физика компьютеров 2011 Л.А.Золоторевич

Табличное умножение довольно распространенный способ реализации различных функций. Остановимся на нем подробнее.

Пусть X и Y - целые числа длиной в 1 байт. Надо вычислить Z=X*Y. Можно использовать 65 Кбайт памяти и занести в них значения Z для всех возможных комбинаций X и Y, а сомножители X и Y использовать в качестве адреса. Получается своеобразная таблица следующего вида:

Физика компьютеров 2011 Л.А.Золоторевич

Комбинированные методы.

Рассмотрим пример. Пусть X и Y - 16-разрядные числа. Надо вычислить произведение вида: Z=X*Y. Использовать непосредственно табличный метод не удастся, поскольку для этих целей потребуется очень большой объем памяти. Однако можно представить каждый сомножитель как сумму двух 16-разрядных слагаемых, каждое из которых представляет группы старших и младших разрядов сомножителей. В этом случае произведение примет вид:

Z= X*Y = (x15 ... x0 )*(y15 ... y0 ) =

= (x15 ...x8 000...0 + 000...0x7 ...x0 )* (y15 ...y8 000...0 + 000...0y7 ...y0 ) =

216 (x15 ...x8 ) (y15 ...y8 ) + 28 (x15 ...x8 ) (y7 ...y0 ) + 28 (x7 ...x0 ) (y15 ...y8 )

+ (x7 ...x0 )*(y7 ...y0 )

Таким образом, произведение раскладывается на простые

8-разрядные сомножители. Эти произведения 8-разрядных

Физика компьютеров 2011

операндов вычисляются табличнымЛ.А.Золоторевич методом, а затем

Особенности вычитания двоично-десятичных чисел.

По аналогии с операциями вычитания в двоичном коде, операцию X-Y можно представить как X + (-Y). При этом отрицательное число представляется в дополнительном коде, аналогичном дополнительному коду в двоичной арифметике. Этот код используется только для выполнения операций вычитания.

Алгоритм выполнения операции состоит в следующем:

1) Модуль положительного числа представляется в прямом двоично-десятичном коде (8421).

Модуль отрицательного числа - в дополнительном коде (ДК) с избытком 6.

Для получения ДК необходимо:

- инвертировать значения разрядов всех тетрад числа;

- к младшему разряду младшей тетрады прибавить 1.

Таким образом, цепочка ПК(mod) ОК ОК+1 ДК аналогична цепочке в двоичной арифметике. Только здесь получается ДК с избытком 6, т.к. дополнение идет не до 10, а до 16.

2) Произвести сложение операндов (X) в ПК и (Y) в ДК.

3) Если при сложении тетрад возник перенос из старшей тетрады, то он отбрасывается, а результату присваивается знак "+", т.е. результат получается в прямом избыточном коде. Он

корректируется по тем же правилам, что и при сложении модулей.

Физика компьютеров 2011

Л.А.Золоторевич

Двоичная арифметика (продолжение)
	Особенности вычитания двоично-десятичных чисел (прдлж).
	4) Если при сложении тетрад не возникает переноса из
	старшей тетрады, то результату присваивается знак "-", т.е.
	результат получается в избыточном ДК. В этом случае необходимо
	перейти к избыточному ПК (т.е. инвертировать все двоичные
	разряды двоично-десятичного числа и прибавить к младшему
	разряду 1).
	5) Полученный в этом случае результат в ПК корректируется.
	Для этого к тем тетрадам, из которых возникал перенос при
	выполнении пункта 2 (при суммировании) необходимо добавить

Представим |Y| в ДК с избытком

Выполним сложение:

Отсутствие переноса из старшей тетрады является признаком того, что результат получился в ДК (т.е. отрицательный). Перейдем к нескорректированному избыточному ПК.

Физика компьютеров 2011 Л.А.Золоторевич

1 слайд

2 слайд

* Двоичное кодирование в компьютере Вся информация, которую обрабатывает компьютер должна быть представлена двоичным кодом с помощью двух цифр: 0 и 1. Эти два символа принято называть двоичными цифрами или битами. С помощью двух цифр 0 и 1 можно закодировать любое сообщение. Это явилось причиной того, что в компьютере обязательно должно быть организованно два важных процесса: кодирование и декодирование. Кодирование – преобразование входной информации в форму, воспринимаемую компьютером, т.е. двоичный код. Декодирование – преобразование данных из двоичного кода в форму, понятную человеку. *

3 слайд

* Двоичная система счисления Двоичная система счисления - позиционная система счисления с основанием 2. Используются цифры 0 и 1. Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и удовлетворяет требованиям: Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы. Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Простота создания таблиц сложения и умножения - основных действий над числами *

4 слайд

* Соответствие десятичной и двоичной систем счисления Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. При одновременной работе с несколькими системами счисления для их различения основание системы обычно указывается в виде нижнего индекса, который записывается в десятичной системе: 12310 - это число 123 в десятичной системе счисления; 11110112 - то же число, но в двоичной системе. Двоичное число 1111011 можно расписать в виде: 11110112 = 1*26 + 1*25 + 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20. p=10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 p=2 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 *

5 слайд

* Перевод чисел из одной системы счисления в другую Перевод из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием p осуществляется последовательным делением десятичного числа и его десятичных частных на p, а затем выписыванием последнего частного и остатков в обратном порядке. Переведем десятичное число 2010 в двоичную систем счисления (основание системы счисления p=2). В итоге получили 2010 = 101002. *

6 слайд

* Перевод чисел из одной системы счисления в другую Перевод из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием 10 осуществляется последовательным умножением элементов двоичного числа на 10 в степени места этого элемента при учете что нумерация мест идет справа и начинается с цифры «0». Переведем двоичное число 100102 в десятичную систем систем счисления. В итоге получили 100102 = 1810. 100102=1*24+ 0*23 +0*22+1*21+ 0*20 =16+2=1810 *

Windows