Описание презентации ЛОГИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ, ОПЕРАЦИИ, ВЫРАЖЕНИЯ. (10 КЛАСС) по слайдам
К числу основных понятий логики относятся: Высказывание Логическая величина Логические операции Логические выражения Формулы
Высказывание (суждение) – это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать, истинно оно или ложно. Например: « На улице идёт дождь» будет истинным или ложным в зависимости от состояния погоды в данный момент. Истинность высказывания «Значение больше, чем » , записанного в форме неравенства: > , будет зависеть от значений переменных и.
Какие из предложений являются высказываниями? Определить их истинность. Какой длины эта лента? Прослушайте сообщение. Делайте утреннюю зарядку! Назовите устройство ввода информации. Кто отсутствует? Париж - столица Англии. Число 11 является простым. 4 + 5 = 10. Без труда не вытащишь и рыбку из пруда. Сложите числа 2 и 5. Некоторые медведи живут на севере. Все медведи — бурые. Чему равно расстояние от Москвы до Ленинграда?
Логические величины – это понятия, выражаемые словами: ИСТИНА, ЛОЖЬ(true, false). Следовательно, истинность высказывания выражается через логические величины. Логическая переменная: символически обозначенная логическая величина. Например: если известно, что А, В, Х, Y и др. – переменные логические величины, то, значит они могут принимать значение только ИСТИНА или ЛОЖЬ. Логическое выражение – простое или сложное высказывание. Сложное высказывание строится на простых с помощью логических операций(связок)
Логические операции Конъюнкция (логи ческое умножение) Двухместная операция, записывается в виде A & B. Значение такого выражения будет ЛОЖЬ, если значение хотя бы одного операнда ложно. Дизъюнкция (логи ческое сложение) Двухместная операция, записывается в виде A V B. Значение такого выражения будет ИСТИНА, если значение хотя бы одного операнда истинно. Отрицание – унарная(одноместная) операция. Записывается в виде ¬ А или Ā.
Логическая формула – формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА или ЛОЖЬ Последовательность выполнения операций в логических формулах определяется старшенством операций. В порядке убывания старшенства логические операции расположены так: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция. Кроме того, на порядок выполнения операций влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах. Например: (A&B)v(Ā&B)v(Ā&В)
Пример 1: Вычислить значение логической формулы ¬ X & Y v X & Z Если логические переменные имеют следующие значения: Х=ЛОЖЬ, Y= ИСТИНА, Z=ИСТИНА. Решение: Отметим цифрами сверху порядок выполнения операций в формуле: Используя таблицу истинности, вычислим формулу по шагам: 1. ¬ ЛОЖЬ = ИСТИНА; 2. ИСТИНА & ИСТИНА = ИСТИНА; 3. ЛОЖЬ & ИСТИНА = ЛОЖЬ; 4. ИСТИНА v ЛОЖЬ = ИСТИНА. ¬ X & Y v X & Z
ПРИМЕР 2 Определите значение логического выражения: не (X > Z) и не (X = Y), если: 1) X = 3, Y = 5, Z = 2; 2) X = 0, Y = 1, Z = 19; 3) X = 5, Y = 0, Z = -8; 4) X = 9, Y = -9, Z = 9.
Логические функции на области числовых значений Алгебра чисел пересекаются с алгеброй логики в тех случаях, когда приходится проверять принадлежность значений алгебраических выражений некоторому множеству. Например, принадлежность значения числовой переменной Х множеству положительных чисел выражается через высказывание: «Х больше нуля» . Символически это записывается так: Х > 0. В алгебре такое выражение называется неравенством, а в логике – отношением. Отношение Х>0 может быть истинным или ложным. Если Х положительная величина, то оно истинно, если отрицательная, то ложно. В общем виде отношение имеет следующую структуру: Знаки отношений: = ; ; >; = ; <=.
Отношение – это простое высказывание, а значит логическая величина. Оно может быть как постоянной: 5>0 –всегда ИСТИНА, 3≠ 6: 2 –всегда ЛОЖЬ; так и переменной: a0) или P(x, y)=(x
Пример: Записать предикат(логическую функцию) от двух вещественных аргументов Xи Y , который будет принимать значение ИСТИНА, если точка на координатной плоскости с координатами X и Y лежит внутри единичной окружности с центром в начале координат. 1 1 -1 0 Y X Решение: Из геометрических соображений понятно, что для всех точек, лежащих внутри единичной окружности, будет истинным значение следующей логической функции: F(X, Y)=(X 2 +Y 2 <1) Для значений координат точек, лежащих на окружности и вне её, значение функции Y будет ложным.
Логические выражения на Паскале Логические константы: true (истина), false (ложь). Логические переменные: описываются с типом Boolean. Операции отношения: осуществляют сравнение двух операндов и определяют, истинно или ложно соответствующее отношение между ними. Знаки операций отношения Логические операции: not –отрицание; and – логическое умножение(конъюнкция); or –логическое сложение (дизъюнкция); xor – исключение ИЛИ. Таблица истинности для этих операций(T- true, F-false) = ; ; >; = ; <=. A B not A A and B A or B A xor B T T F T F F F T T
Логическое выражение может состоять из логических констант и переменных, отношений, логических операций. Логическое выражение принимает значение true или false. Например, логическая формула На Паскале запишется в виде следующего логического выражения: not X and Y or X and Z , где X, Y, Z –переменные Boolean. Логические переменные располагаются в следующем порядке по убыванию старшенства(приоритета): 1) not 2) and 3) or, xor. Операции отношения имеют самый низкий приоритет. Поэтому если операндами логической операции являются отношения, то их следует заключать в круглые скобки. Например, математическому неравенству 1≤ Х ≤ 50 соответствует следующее логическое выражение: (1<=X) and (X<=50)¬ X & Y v X & Z
Логическая функция odd(x) – логическая функция определения четности аргумента, равна true , если x- нечетное, и равна false, если x- четное; trunc (x) – целочисленная функция от вещественного аргумента, возвращающая ближайшее целое число, не превышающее x по модулю.
Для правильной записи сложного логического выражения(предиката) нужно учитывать относительные предикаты арифметических, логических операций и операций отношений, поскольку все они могут присутствовать в логическом выражении. По убыванию приоритета операции располагаются в следующем порядке: 1. Арифметические операции: -. (минус унарный) *, / +, — 2. Логические операции: not and or, xor 3. Операции отношения: =, >, =, <=
Описание презентации по отдельным слайдам:
1 слайд
Описание слайда:
Логические величины, операции, выражения. (10 класс) Выполнила: учитель информатики МБОУ Салганской СОШ-Глухова Т.И.
2 слайд
Описание слайда:
К числу основных понятий логики относятся: Высказывание Логическая величина Логические операции Логические выражения Формулы
3 слайд
Описание слайда:
Высказывание (суждение) – это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать, истинно оно или ложно. Например: « На улице идёт дождь» будет истинным или ложным в зависимости от состояния погоды в данный момент. Истинность высказывания «Значение больше, чем », записанного в форме неравенства: > , будет зависеть от значений переменных и.
4 слайд
Описание слайда:
Какие из предложений являются высказываниями? Определить их истинность. Какой длины эта лента? Прослушайте сообщение. Делайте утреннюю зарядку! Назовите устройство ввода информации. Кто отсутствует? Париж - столица Англии. Число 11 является простым. 4 + 5 = 10. Без труда не вытащишь и рыбку из пруда. Сложите числа 2 и 5. Некоторые медведи живут на севере. Все медведи - бурые. Чему равно расстояние от Москвы до Ленинграда?
5 слайд
Описание слайда:
Логические величины – это понятия, выражаемые словами: ИСТИНА, ЛОЖЬ(true, false). Следовательно, истинность высказывания выражается через логические величины. Логическая переменная: символически обозначенная логическая величина. Например: если известно, что А,В,Х, Y и др. – переменные логические величины, то, значит они могут принимать значение только ИСТИНА или ЛОЖЬ. Логическое выражение – простое или сложное высказывание. Сложное высказывание строится на простых с помощью логических операций(связок)
6 слайд
Описание слайда:
Логические операции Конъюнкция(логическое умножение) Двухместная операция, записывается в виде A & B. Значение такого выражения будет ЛОЖЬ, если значение хотя бы одного операнда ложно. Дизъюнкция(логическое сложение) Двухместная операция, записывается в виде A V B. Значение такого выражения будет ИСТИНА, если значение хотя бы одного операнда истинно. Отрицание – унарная(одноместная) операция. Записывается в виде ¬ А или Ā.
7 слайд
8 слайд
Описание слайда:
Логическая формула – формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА или ЛОЖЬ Последовательность выполнения операций в логических формулах определяется старшенством операций. В порядке убывания старшенства логические операции расположены так: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция. Кроме того, на порядок выполнения операций влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах. Например: (A&B)v(Ā&B)v(Ā&В)
9 слайд
Описание слайда:
Пример 1: Вычислить значение логической формулы ¬ X & Y v X & Z Если логические переменные имеют следующие значения: Х=ЛОЖЬ,Y= ИСТИНА, Z=ИСТИНА. Решение: Отметим цифрами сверху порядок выполнения операций в формуле: Используя таблицу истинности, вычислим формулу по шагам: ¬ ЛОЖЬ = ИСТИНА; ИСТИНА & ИСТИНА = ИСТИНА; ЛОЖЬ & ИСТИНА = ЛОЖЬ; ИСТИНА v ЛОЖЬ = ИСТИНА. ¬ X & Y v X & Z 1 2 3 4
10 слайд
Описание слайда:
Пример 2 Определите значение логического выражения: не (X > Z) и не (X = Y), если: 1) X = 3, Y = 5, Z = 2; 2) X = 0, Y = 1, Z = 19; 3) X = 5, Y = 0, Z = -8; 4) X = 9,Y = -9, Z = 9.
11 слайд
Описание слайда:
Логические функции на области числовых значений Алгебра чисел пересекаются с алгеброй логики в тех случаях, когда приходится проверять принадлежность значений алгебраических выражений некоторому множеству. Например, принадлежность значения числовой переменной Х множеству положительных чисел выражается через высказывание: «Х больше нуля». Символически это записывается так: Х > 0. В алгебре такое выражение называется неравенством, а в логике – отношением. Отношение Х>0 может быть истинным или ложным. Если Х положительная величина, то оно истинно, если отрицательная, то ложно. В общем виде отношение имеет следующую структуру: <выражение 1> <знак отношения> <выражение2> Знаки отношений: = ; <>; >; <; >= ; <=.
12 слайд
Описание слайда:
Отношение – это простое высказывание, а значит логическая величина. Оно может быть как постоянной: 5>0 –всегда ИСТИНА, 3≠6:2 –всегда ЛОЖЬ; так и переменной:a 13
слайд
Описание слайда:
Пример: Записать предикат(логическую функцию) от двух вещественных аргументов Xи Y , который будет принимать значение ИСТИНА, если точка на координатной плоскости с координатами X и Y лежит внутри единичной окружности с центром в начале координат. Решение: Из геометрических соображений понятно, что для всех точек, лежащих внутри единичной окружности, будет истинным значение следующей логической функции: F(X,Y)=(X2 +Y2 <1) Для значений координат точек, лежащих на окружности и вне её, значение функции Y будет ложным. 1 1 -1 0 Y X 14
слайд
Описание слайда:
Логические выражения на Паскале Логические константы: true(истина), false(ложь). Логические переменные: описываются с типом Boolean. Операции отношения: осуществляют сравнение двух операндов и определяют, истинно или ложно соответствующее отношение между ними. Знаки операций отношения Логические операции: not –отрицание; and – логическое умножение(конъюнкция); or –логическое сложение (дизъюнкция); xor – исключение ИЛИ. Таблица истинности для этих операций(T- true, F-false) = ; <>; >; <; >= ; <=. A B not A A and B A or B AxorB T T F T T F T F F F T T F T T F T T F F T F F F Составила: Антонова Е.П.
2008г. Слайд 2
Логические величины: понятия, выражаемые словами: ИСТИНА, ЛОЖЬ (true, false). Следовательно, истинность высказываний выражается через логические величины.
Логическая константа: ИСТИНА или ЛОЖЬ.Логическая переменная: символически обозначенная логическая величина.
Если A,B,X,Y и пр. - переменные логические величины, то это значит, что они могут принимать значения только ИСТИНА или ЛОЖЬ.
Логическое выражение - простое или сложное высказывание. Сложное высказывание строится из простых с помощью логических операций (связок). Слайд 3
Конъюнкция (логическое умножение). В русском языке она выражается союзом И. В математической логике используются знаки & или /\. Конъюнкция - двухместная операция; записывается в виде: А /\ В. Значение такого выражения будет ЛОЖЬ, если хотя бы значение одного из операндов ложно. Слайд 4
Дизъюнкция (логическое сложение). В русском языке этой связке соответствуют союз ИЛИ. В математической логике она обозначается знаком v. Дизъюнкция - двухместная операция; записывается в виде: A vB. Значение такого выражения будет ИСТИНА, если значение хотя бы одного из операндов истинно. Слайд 5
Отрицание. В русском языке этой связке соответствует частица НЕ (в некоторых высказываниях применяется оборот «неверно, что...»). Отрицание - унарная (одноместная) операция; записывается в виде: ¬А Слайд 7
Рассмотрим сложное высказывание: «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3». Представить данное высказывание в виде логической формулы.
Обозначим через А простое высказывание « число 6 делится на 2 », а через В простое высказывание «число 6 делится на 3». Тогда соответствующая логическая формула имеет вид: А & В. Очевидно, ее значение - ИСТИНА. Слайд 8
Слайд 9
Сформулируйте высказывания на обычном языке для следующих логических выражений:
1) (X = 12) и (Y = 12) и (Z = 12);
2) (X 0) или (Y 0);
3) (X х Y 0);
4) (X х Y х Z 0). Слайд 10
Определите значение логического выражения:
не (X > Z) и не (X = Y),
если:
1) X = 3, Y = 5, Z = 2;
2) X = 0, Y = 1, Z = 19;
3) X = 5, Y = 0, Z = -8;
4) X = 9,Y = -9, Z = 9. Слайд 11
Определите значения логических переменных а, b с, d, если:
1) а и (Марс - планета) - истинное высказывание;
2) b и (Марс - планета) - ложное высказывание;
3) с или(Солнце - спутник Земли) - истинное высказывание;
4) d или (Солнце - спутник Земли) - ложное высказывание. Высказывание (суждение)
-
это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать, истинно оно или ложно. Например: «Лед - твердое состояние воды» - истинное высказывание. «Треугольник, это геометрическая фигура» - истинное высказывание. «Париж - столица Китая» - ложное высказывание. 6 < 5 - ложное высказывание. Логические величины:
понятия, выражаемые словами: ИСТИНА, ЛОЖЬ (true, false). Следовательно, истинность высказываний выражается через логические величины. Логическая константа:
ИСТИНА или ЛОЖЬ. Логическая переменная:
символически обозначенная логическая величина. Следовательно, если известно, что А, В, X, Y и
пр. - переменные логические величины, то это значит, что они могут принимать значения только ИСТИНА или ЛОЖЬ. Логическое выражение
- простое или сложное высказывание. Сложное высказывание строится из простых с помощью логических операций (связок). Логические операции.
В математической логике определены пять основных логических операций: конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация, эквивалентность. Первые три из них составляют полную систему операций,
вследствие чего остальные операции могут быть выражены через них (нормализованы). В информатике обычно используются эти три операции. Конъюнкция
(логическое умножение). В русском языке она выражается союзом И. В математической логике используются знаки &
или . Конъюнкция - двухместная операция; записывается в виде: А
В.
Значение такого выражения будет ЛОЖЬ, если значение хотя бы одного из операндов ложно. Дизъюнкция (логическое сложение). В русском языке этой связке соответствуют союз ИЛИ. В математической логике она обозначается знаком v. Дизъюнкция - двухместная операция; записывается в виде: A
v В.
Значение такого выражения будет ИСТИНА если значение хотя бы одного из операндов истинно. Отрицание.
В русском языке этой связке соответствует частица НЕ (в некоторых высказываниях применяется оборот «неверно что...»). Отрицание - унарная (одноместная) операция; записывается в виде: А или .
Логическая формула (логическое выражение)
-
формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА или ЛОЖЬ. Пример 1.
Рассмотрим сложное высказывание: «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3». Представить данное высказывание в виде логической формулы. Обозначим через А
простое высказывание «число 6 делится на 2», а через В
простое высказывание «число 6 делится на 3». Toгда соответствующая логическая формула имеет вид: А
& В.
Очевидно, ее значение - ИСТИНА. Пример 2.
Рассмотрим сложное высказывание: «Летом я поеду в деревню или в туристическую поездку». Обозначим через А
простое высказывание «летом я поеду Я деревню», а через В
- простое высказывание «летом я поеду в туристическую поездку». Тогда логическая форма сложного высказывания имеет вид Пример 3.
Рассмотрим высказывание: «Неверно, что 4 делится на 3». Обозначим через А
простое высказывание «4 делится на 3». Тогда логическая форма отрицания этого высказывания имеет вид А
Правила выполнения логических операций отражены в следующей таблице, которая называется таблицей истинности. Последовательность выполнения операций в логических формулах определяется старшинством операций. В порядке убывания старшинства логические операции расположены так: отрицания, конъюнкция, дизъюнкция.
Кроме того, на порядок операции влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах. Приложения математической логики в базовом курсе
Математическая логика в базах данных.
При изучении базового курса информатики ученики впервые встречаются с элементами математической логики в теме «Базы данных» (БД). В реляционных БД логическими величинами являются поля логического типа. Логический тип используется наряду с другими типами полей, и ученики должны научиться выделять его. Первое понятие о логической величине можно дать как ответ на альтернативный вопрос. Например: «Имеется ли данная книга в библиотеке?» или «Поступил ли абитуриент в университет», или «На улице идет дождь?» и т.п. Ответами на такие вопросы могут быть только «да» или «нет». Синонимами являются «истина», «ложь»; «true», «false». Если поле таблицы будет принимать только такие значения, то ему назначается логический тип. Например, реляционная база данных ФАКУЛЬТАТИВЫ содержит сведения о посещении учениками трех факультативов по геологии, цветоводству и танцам. На реляционном языке ее структура описывается так: ФАКУЛЬТАТИВЫ (УЧЕНИК
. ГЕОЛОГИЯ, ЦВЕТОВОДСТВО, ТАНЦЫ) Поля ГЕОЛОГИЯ, ЦВЕТОВОДСТВО и ТАНЦЫ будут иметь логический тип. Значение ИСТИНА для каждого поля обозначает, что ученик посещает данный факультатив, а ЛОЖЬ - не посещает. Логические выражения используются в запросах к базе данных в качестве условий поиска. Логические выражения разделяются на простые и сложные. В простых выражениях всегда используется лишь одно поле таблицы, и не применяются логические операции. В сложных логических выражениях используются логические операции. Простое логическое выражение представляет собой либо имя поля логического типа, либо отношение
(в математике говорят «неравенство»). Отношения для числовых величин сохраняют смысл математических неравенств; при вычислении отношений для символьных величин учитывается лексикографический порядок; даты сравниваются в порядке их календарной последовательности. Основная проблема - научить учеников формальному представлению условий поиска в виде логических выражений. Например, от фразы «найти все книги, лежащие выше пятой полки» нужно перейти к логическому выражению: ПОЛКА > 5; или условие «выбрать всех неуспевающих по физике» представить в виде: ФИЗИКА < 3; или «выбрать все дни, когда шел дождь» ОСАДКИ = «дождь». Особое внимание надо обратить на использование полей логического типа в условиях поиска. Обычно к ним не применяются отношения. Логическое поле само несет логическое значение: «истина» или «ложь». Например, условие «выбрать всех учеников, посещающих танцы» представится одним именем логического поля ТАНЦЫ. Сложные логические выражения содержат в себе логические операции. Рассматриваются три основные операции математической логики: конъюнкция (И), дизъюнкция (ИЛИ), отрицание (НЕ). Обычно при объяснении этого вопроса учитель отталкивается от семантического смысла высказываний на русском языке, содержащих союзы И, ИЛИ, частицу НЕ. Например, высказывание: «Сегодня будет контрольная по алгебре И по физике» справедливо, если состоятся обе контрольные и ложно, если хотя бы одна не состоится. Другое высказывание: «Сегодня будет контрольная по алгебре ИЛИ по физике» будет истинным, если состоится хотя бы одна контрольная работа. И, наконец, высказывание: «Сегодня НЕ будет контрольной» истинно, если контрольная не состоится, т. е. если высказывание о том, что сегодня будет контрольная, оказывается ложным. Из подобных примеров учитель делает выводы о правилах выполнения логических операций:
если А и В -
логические величины, то выражение А и В
истинно только в том случае, если истинны оба операнда; А
или В
ложно только в том случае, если ложны оба операнда; Не А
меняет значение логической величины на противоположное: не истина - ложь; не ложь - истина.Логические величины
Логические операции. Конъюнкция
Логические операции. Дизъюнкция
Логические операции. Отрицание
Пример
Правила выполнения логических операций
Задача 1
Задача 2
Задача 3
